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Alt 23.06.2018, 15:35   #1   Druckbare Version zeigen
Zewski  
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 10
Quantenmechanik Drehimpuls

Guten Mittag,
ich hab eine Frage zum Drehimpuls in der QM:
Bei der 3D-starren Rotation einer reduzierten Masse ist m die Quantenzahl für die z-Komponente des Drehimpulses. l ist die Quantenzahl des Gesamtdrehimpulses. Nun ist es nicht möglich, dass Lz = L, da dadurch Lx und Ly = 0 wären, da [lx,lz]=/= 0, usw, ist es nicht möglich.. Aber bei der 2D starren Rotation entspricht Lz = L. Also kann über m der Gesamtdrehimpuls bestimmt werden. Wie ist das möglich wenn die Kommutatoren (z.B. [ly,lz]=/= 0) ungleich 0 sind?
MfG
Zewski
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Alt 24.06.2018, 09:58   #2   Druckbare Version zeigen
NapalmDeath Männlich
Mitglied
Beiträge: 89
AW: Quantenmechanik Drehimpuls

Hi Zewski,

wie kommst du darauf, dass Lz=L ist im Fall des linearen Rotators – ich denke das ist mit 2D Rotation gemeint, oder?

LG,
Nico
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Alt 26.06.2018, 19:01   #3   Druckbare Version zeigen
Zewski  
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 10
AW: Quantenmechanik Drehimpuls

Zitat:
Zitat von NapalmDeath Beitrag anzeigen
Hi Zewski,

wie kommst du darauf, dass Lz=L ist im Fall des linearen Rotators – ich denke das ist mit 2D Rotation gemeint, oder?

LG,
Nico
Hi Nico,
ich weiss nicht was du mit linearen Rotator meinst, aber ja ich meine Lz = L für 2D Rotation (starr). Die Lösung der Schrödinger Gleichung für 2D-Rotation ist ja φ(Φ). Da Φ der Winkel auf der xy-Ebene ist (Kugelkoordinaten), rotiert ja unser Rotator auf der xy-Ebene. Der Drehimpuls ist orthogonal zu dieser. Wenn die Quantenzahl m den Wert von Lz bestimmt, muss es ja L entsprechen, da der Drehimpuls nur einen z-Wert =/= 0 hat. Aber dadurch wären Lx und Ly = 0, was den Kommutatoren der Operatoren der einzelnen Drehimpulskomponenten widerspricht...
Hoffe ich konnte meine Frage etwas klarer machen..
MfG
Zewski
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Alt 28.06.2018, 10:56   #4   Druckbare Version zeigen
NapalmDeath Männlich
Mitglied
Beiträge: 89
AW: Quantenmechanik Drehimpuls

Könntest du mal einen Link oder eine Quelle angeben, die den 2D-Rotator behandelt, von dem du sprichst?

So wie ich das verstehe, siehst du darin ein Objekt, das nur in einer Ebene rotieren kann. Das wäre dann allerdings ein Modell eines 1-dimensionalen Rotators, da du lediglich eine Drehachse (senkrecht auf der Ebene stehend) zur Verfügung hast. Das entspricht dem klassischen Modell eines Teilchens auf dem Ring, in dem du einem Teilchen nur erlaubst sich auf einer definierten Kreisbahn (-> 1D) zu bewegen. Damit ist der Drehimpuls dann automatisch bestimmt, es gibt keine Richtungsquantelung, da die Komponenten (bzw. Operatoren) Lx und Ly in diesem Modell ganz einfach nicht mehr existieren. Sobald du aber die Dimensionalität wieder erhöhst, kommen die beiden ins Spiel und die Kommutatorrelation greift.

Ich hoffe das hilft dir ein wenig.

Gruß,
Nico
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Alt 28.06.2018, 11:17   #5   Druckbare Version zeigen
Zewski  
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 10
AW: Quantenmechanik Drehimpuls

Hallo Nico,
ich habe diese Frage aus einem Buch:
T. Engel, P. Reid, Physikalische Chemie, 1. Auflage, Pearson Studium 2006, S. 479.
Diese Frage wird als Verständnisfrage im Buch gestellt, jedoch gibt es soweit ich weiss eine Lösungen dazu. Es handelt sich um die Verständnisfrage F18.4:
"Warum kann der Drehimpuls bei der zweidimensionalen Rotation in der x-y-Ebene auf der z-Achse liegen, bei der dreidimensionalen Rotation jedoch nicht?". Vielleicht habe ich die Frage hier falsch übermittelt?
MfG Zewski
Zewski ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 28.06.2018, 11:50   #6   Druckbare Version zeigen
NapalmDeath Männlich
Mitglied
Beiträge: 89
AW: Quantenmechanik Drehimpuls

Okay, jetzt sind wir glaube ich auf einer Wellenlänge. Das was ich bereits erläutert habe gilt dennoch. Ich versuche es aber nochmal anders auszudrücken.

Der 2D Rotator entspricht einem Teilchen auf dem Ring. Das Teilchen bewegt sich in einer Kreisbahn in der x-y-Ebene. Das Modell legt also fest, dass der Drehimpulsvektor entlang der z-Achse verläuft. Der Drehimpuls kann folglich mithilfe des lz-Operators ermittelt werden. Der könnte so aussehen:

{l_z=\frac{-ih}{sqrt{2\pi}}\frac{d}{d\phi}}

Die Operatoren lx und ly sind aber per Definition in diesem Modell gleich 0. Wenn du nun die Kommutatoren bildest, wirst du erkennen, dass [lz, ly]=0 und [lz, lx]=0 gilt. Folglich kommutieren die beiden anderen Drehimpulsoperatoren mit dem lz-Operator. Dies hat zur Folge dass der Drehimpuls in diesem Fall bestimmt ist.

Geht man nun über zum komplexeren Fall, in dem die Rotation nicht mehr nur auf eine Ebene beschränkt ist, dann sieht die Sache anders aus. Ein Beispiel dafür wäre ein lineares zweiatomiges Molekül.

Hier wird die mathematische Erschlagung etwas komplizierter. Erneut kannst du dafür aber die jeweiligen Drehimpulsoperatoren aufstellen (siehe S. 465) und wirst feststellen, dass hier die Kommutatoren in allen Fällen ungleich sind. Exemplarisch hier mal einer davon:

{[l_z, l_x]=i\hbar l_y}

Die anderen sehen analog aus und sind alle ungleich 0. Folglich kommutieren diese nicht und der Drehimpuls ist unbestimmt.

Jetzt klarer?

Gruß,
Nico
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Alt 28.06.2018, 15:05   #7   Druckbare Version zeigen
NapalmDeath Männlich
Mitglied
Beiträge: 89
AW: Quantenmechanik Drehimpuls

Zitat:
Zitat von NapalmDeath Beitrag anzeigen
Hier wird die mathematische Erschlagung etwas komplizierter. Erneut kannst du dafür aber die jeweiligen Drehimpulsoperatoren aufstellen (siehe S. 465) und wirst feststellen, dass hier die Kommutatoren in allen Fällen ungleich sind. Exemplarisch hier mal einer davon:

{[l_z, l_x]=i\hbar l_y}
Hier war "ungleich null" gemeint. Sorry.
NapalmDeath ist gerade online   Mit Zitat antworten
Alt 28.06.2018, 16:36   #8   Druckbare Version zeigen
Zewski  
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 10
AW: Quantenmechanik Drehimpuls

Zitat:
Zitat von NapalmDeath Beitrag anzeigen
Okay, jetzt sind wir glaube ich auf einer Wellenlänge. Das was ich bereits erläutert habe gilt dennoch. Ich versuche es aber nochmal anders auszudrücken.

Der 2D Rotator entspricht einem Teilchen auf dem Ring. Das Teilchen bewegt sich in einer Kreisbahn in der x-y-Ebene. Das Modell legt also fest, dass der Drehimpulsvektor entlang der z-Achse verläuft. Der Drehimpuls kann folglich mithilfe des lz-Operators ermittelt werden. Der könnte so aussehen:

{l_z=\frac{-ih}{sqrt{2\pi}}\frac{d}{d\phi}}

Die Operatoren lx und ly sind aber per Definition in diesem Modell gleich 0. Wenn du nun die Kommutatoren bildest, wirst du erkennen, dass [lz, ly]=0 und [lz, lx]=0 gilt. Folglich kommutieren die beiden anderen Drehimpulsoperatoren mit dem lz-Operator. Dies hat zur Folge dass der Drehimpuls in diesem Fall bestimmt ist.

Geht man nun über zum komplexeren Fall, in dem die Rotation nicht mehr nur auf eine Ebene beschränkt ist, dann sieht die Sache anders aus. Ein Beispiel dafür wäre ein lineares zweiatomiges Molekül.

Hier wird die mathematische Erschlagung etwas komplizierter. Erneut kannst du dafür aber die jeweiligen Drehimpulsoperatoren aufstellen (siehe S. 465) und wirst feststellen, dass hier die Kommutatoren in allen Fällen ungleich sind. Exemplarisch hier mal einer davon:

{[l_z, l_x]=i\hbar l_y}

Die anderen sehen analog aus und sind alle ungleich 0. Folglich kommutieren diese nicht und der Drehimpuls ist unbestimmt.

Jetzt klarer?

Gruß,
Nico
Vielen, vielen Dank Nico, hab es jetzt verstanden
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Stichworte
drehimpuls, quantenmechanik, quantisierung, unschärfe

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