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Mathematik Mathematik benötigt man immer, auch in anderen Fächern. Dieses Forum soll als Anlaufpunkt bei der Lösung von mathematischen Fragestellungen dienen.

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Alt 28.04.2018, 13:48   #1   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 125
Komplexe Zahlen

Hi Leute!

Ich soll zeigen, dass für alle {z, w \in \mathbb{C}} gilt : {\left| \frac{z}{w} \right| = \frac{\left| z \right|}{\left| w \right|}}

Ich hänge da ein bisschen

Also sei {z = a+ib, w = c+id}, dann erhalte ich {\left| \frac{z}{w} \right| = \left| \frac {a+ib}{c+id} \right|} und {\frac{\left| z \right|}{\left| w \right|} = \frac {\sqrt{a^2 + b^2}}{\sqrt{c^2 + d^2}}}

nur wie komm ich da jetzt weiter?

Danke schon mal für eure Hilfe
Lovecraft ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 28.04.2018, 23:09   #2   Druckbare Version zeigen
markus78 Männlich
Mitglied
Beiträge: 220
AW: Komplexe Zahlen

Ich würde mit c-id erweitern, um i im Nenner wegzukriegen.
markus78 ist offline   Mit Zitat antworten
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Alt 29.04.2018, 09:57   #3   Druckbare Version zeigen
pleindespoir Männlich
Mitglied
Beiträge: 5.306
AW: Komplexe Zahlen

lösch wegen falsch - sorry
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Schach is voll langweilig:
Immer die gleiche Map und die Charakter kann man auch nicht modden.
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Alt 29.04.2018, 10:19   #4   Druckbare Version zeigen
pleindespoir Männlich
Mitglied
Beiträge: 5.306
AW: Komplexe Zahlen

{\left| \frac{z}{w} \right| = \frac{\left| z \right|}{\left| w \right|}}
{\left| \frac{a+jb}{c+jd} \right| = \frac{\left| a+jb \right|}{\left| c+jd \right|}}
{{\left| \frac{(a+jb) \cdot (c-jd)}{(c+jd) \cdot (c-jd)} \right| = \frac{\sqrt{ a^2+b^2 }}{\sqrt{ c^2+d^2 }}}}
{{\left| \frac{ac+jbc-jad-j^2bd}{c^2+d^2} \right| = \frac{\sqrt{ a^2+b^2 }}{\sqrt{ c^2+d^2 }}}}
{{\left| \frac{ac+bd   +j(bc-ad)}{c^2+d^2} \right| = \frac{\sqrt{ a^2+b^2 }}{\sqrt{ c^2+d^2 }}}}
{{ \frac{\sqrt{(ac+bd)^2   +(bc-ad)^2}}{c^2+d^2}  = \frac{\sqrt{ a^2+b^2 }}{\sqrt{ c^2+d^2 }}}}
{{ \frac{\sqrt{a^2c^2+2abcd+b^2d^2   +b^2c^2-2abcd+a^2d^2}}{c^2+d^2}  = \frac{\sqrt{ a^2+b^2 }}{\sqrt{ c^2+d^2 }}}}
{{ \frac{\sqrt{a^2c^2+b^2d^2   +b^2c^2+a^2d^2}}{c^2+d^2}  = \frac{\sqrt{ a^2+b^2 }}{\sqrt{ c^2+d^2 }}}}
{ \frac{a^2c^2+b^2d^2   +b^2c^2+a^2d^2}{(c^2+d^2)^2 } = \frac{ a^2+b^2 }{ c^2+d^2 }}
{a^2c^2+b^2d^2   +b^2c^2+a^2d^2 = (a^2+b^2 )(c^2+d^2)}
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Alt 29.04.2018, 11:34   #5   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 125
AW: Komplexe Zahlen

Hey! Danke erstmal für den ausführlichen Weg. Mir ist der Schritt
von der 5. zur 6. Zeile noch nicht ganz klar.


Also von {\left| \frac {ac+bd+j(bc-ad)}{c^2+d^2} \right|} nach
{\frac {\sqrt{(ac+bd)^2 + (bc-ad)^2}}{c^2+d^2}}
Hast du da die Definition von der Länge benutzt? Also {\left| z \right| = \sqrt{a^2+b^2}} ?

Den Rest der dann folgt, hab ich nachvollzogen
Lovecraft ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 29.04.2018, 21:34   #6   Druckbare Version zeigen
pleindespoir Männlich
Mitglied
Beiträge: 5.306
AW: Komplexe Zahlen

{\left| \Re + j \cdot \Im  \right| = \sqrt{\Re^2+ \Im ^2} }
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Alt 30.04.2018, 02:17   #7   Druckbare Version zeigen
DonCarlos Männlich
Moderator
Beiträge: 1.525
AW: Komplexe Zahlen

Für beliebige {\varphi \in \mathbb{R}} gilt {|e^{i \varphi}| = 1}.

Die komplexen Zahlen {z, w} besitzen eine Darstellung in Polarkoordinaten, somit
gibt es {\alpha, \beta, r_1, r_2 \in \mathbb{R}} mit {z = r_1 e^{i \alpha}} und {w = r_2 e ^{i\beta}}.

Somit gilt (für {w \not= 0}):
{|\frac{z}{w}|= |\frac{r_1}{r_2}e^{i(\alpha - \beta)}|= |\frac{r_1}{r_2}| = \frac{|z|}{|w|}}.
DonCarlos ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 01.05.2018, 17:34   #8   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 125
AW: Komplexe Zahlen

Danke euch!
Lovecraft ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 12.05.2018, 14:53   #9   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 125
AW: Komplexe Zahlen

Hi Leute, bei folgender Aufgabe weiß ich nicht so recht, ob ich das richtig angehe. Und zwar soll ich alle dritten Wurzeln von -27 bestimmen.

Dazu benutze ich folgendes Wissen:

{z = r (cos \varphi + isin \varphi) = re^{i \varphi} = re^{\varphi_0 + 2k \pi}}

Für eine komplexe Zahl z (hier kann ich ja -27 also komplexe Zahl z = -27 +0i schreiben) ist die n-te Wurzel gegeben durch:

{W_k = (\sqrt[n]{z})_k = (re^{i(\varphi_0 + 2k \pi)^{\frac{1}{n}}}) = \sqrt[n]{r} e ^{i(\frac {\varphi_0}{n} + \frac{2k \pi}{n})} = \sqrt[n]{r} [cos (\frac {\varphi_0}{n} + \frac{2k \pi}{n}) + i sin ( \frac {\varphi_0}{n} + \frac {\2k \pi}{n})]}


also für n=3 ist k = n-1 = 2, also k = 0,1,2

Also:
{Z = -27 + 0i \Rightarrow |z| = \sqrt { (-27)^2 + 0^2 } = \sqrt{729} = 27 }

und da ich ja bei -27 bin in der kartesischen Darstellung der komplexen Zahlen, habe ich doch einen Winkel von {- \pi} oder?

D.h. für k=0 : {W_0 = 27 e^{i (-\pi)} = 27 (cos (-\pi) + i sin (- \pi) = 27 (-1 + i0) = -27}

Aber das Ergebnis ist doch völliger Quatsch ... kann mir jemand sagen wo ich da den Fehler gemacht hab?
Lovecraft ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 12.05.2018, 21:31   #10   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.106
AW: Komplexe Zahlen

Hi,

{-27=27 e^{i\pi}}, also du kannst auch einfach {\pi} anstatt {-\pi} nehmen. Dann musst du richtig in die Formel einsetzen, irgendwo musst du ja z.B. {\sqrt[3]{27}} ausrechnen.

Gruß Shipwater
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