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Mathematik Mathematik benötigt man immer, auch in anderen Fächern. Dieses Forum soll als Anlaufpunkt bei der Lösung von mathematischen Fragestellungen dienen.

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Alt 19.05.2018, 16:57   #1   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 125
Konvergenz/Divergenz

Hi Leute!
Ich soll die Konvergenz/Divergenz dieser Folge zeigen:
{\frac{1+6n+2n^2}{(n+3)n}}

Es lautet ja: {a_n} konvergiert gegen a, wenn gilt: {\forall \epsilon > 0 \: \exists n_0 \in \mathbb{N} \: \forall n \geq n_0 \: |a_n - a | < \epsilon}

jetzt komme ich an der Stelle (siehe Bild) nicht weiter. ich muss doch nach n umstellen oder, denn wir suchen ja das {n_0}
Kann mir jemand sagen wie ich hier weitermache bzw was ich eventuell falsch gemacht habe?

Ich danke euch!
Angehängte Grafiken
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Alt 19.05.2018, 17:47   #2   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.106
AW: Konvergenz/Divergenz

Quadratische Ergänzung. Du kannst dir das Leben aber einfacher machen, indem du {|a_n-2|=\frac{1}{(n+3)n}} vorher nach oben abschätzt.

Gruß Shipwater
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Alt 19.05.2018, 17:59   #3   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 125
AW: Konvergenz/Divergenz

Ok also {\frac{1}{(n+3)n}} geht für n gegen unendlich gegen Null.
Aber wie hilft mir das? Ich such doch das {n_0}, so dass für die Folgeglieder { n \geq n_0} der Abstand zu dem Grenzwert (hier 2) kleiner ist als epsilon
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Alt 19.05.2018, 18:18   #4   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.106
AW: Konvergenz/Divergenz

Zitat:
Zitat von Lovecraft Beitrag anzeigen
Ok also {\frac{1}{(n+3)n}} geht für n gegen unendlich gegen Null.
Das ist gerade noch zu zeigen.

Zitat:
Zitat von Lovecraft Beitrag anzeigen
Aber wie hilft mir das? Ich such doch das {n_0}, so dass für die Folgeglieder { n \geq n_0} der Abstand zu dem Grenzwert (hier 2) kleiner ist als epsilon
Du suchst nicht {"\text{das } n_0"} sondern ein {n_0,} für das die Aussage erfüllt ist. Es ist jedoch nicht falsch (sondern nur umständlich), wenn du die Ungleichung {\frac{1}{(n+3)n}<\varepsilon} löst. Das kannst du mit quadratischer Ergänzung bewerkstelligen.

Gruß Shipwater
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Alt 19.05.2018, 22:47   #5   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 125
AW: Konvergenz/Divergenz

Gut also { \lim \limits_{n \to \infty} \frac{1}{(n+3)n} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{1}{(n+3)} \cdot \lim \limits_{n \to \infty} \frac{1} {n}  = 0 \cdot 0 }

so zeigt man das doch oder?
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Alt 21.05.2018, 11:20   #6   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.106
AW: Konvergenz/Divergenz

Das kannst du so machen, wenn dir die dafür benötigten Sätze schon zur Verfügung stehen. Dann kannst du allerdings auch gleich bei {\lim_{n \to \infty}\frac{1+6n+2n^2}{(n+3)n}} mit den Grenzwertsätzen arbeiten.

Gruß Shipwater
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Alt 21.05.2018, 18:10   #7   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 125
AW: Konvergenz/Divergenz

Okay Danke!
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