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Mathematik Mathematik benötigt man immer, auch in anderen Fächern. Dieses Forum soll als Anlaufpunkt bei der Lösung von mathematischen Fragestellungen dienen.

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Alt 19.05.2018, 16:57   #1   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 129
Konvergenz/Divergenz

Hi Leute!
Ich soll die Konvergenz/Divergenz dieser Folge zeigen:
{\frac{1+6n+2n^2}{(n+3)n}}

Es lautet ja: {a_n} konvergiert gegen a, wenn gilt: {\forall \epsilon > 0 \: \exists n_0 \in \mathbb{N} \: \forall n \geq n_0 \: |a_n - a | < \epsilon}

jetzt komme ich an der Stelle (siehe Bild) nicht weiter. ich muss doch nach n umstellen oder, denn wir suchen ja das {n_0}
Kann mir jemand sagen wie ich hier weitermache bzw was ich eventuell falsch gemacht habe?

Ich danke euch!
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Alt 19.05.2018, 17:47   #2   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.106
AW: Konvergenz/Divergenz

Quadratische Ergänzung. Du kannst dir das Leben aber einfacher machen, indem du {|a_n-2|=\frac{1}{(n+3)n}} vorher nach oben abschätzt.

Gruß Shipwater
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Alt 19.05.2018, 17:59   #3   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 129
AW: Konvergenz/Divergenz

Ok also {\frac{1}{(n+3)n}} geht für n gegen unendlich gegen Null.
Aber wie hilft mir das? Ich such doch das {n_0}, so dass für die Folgeglieder { n \geq n_0} der Abstand zu dem Grenzwert (hier 2) kleiner ist als epsilon
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Alt 19.05.2018, 18:18   #4   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.106
AW: Konvergenz/Divergenz

Zitat:
Zitat von Lovecraft Beitrag anzeigen
Ok also {\frac{1}{(n+3)n}} geht für n gegen unendlich gegen Null.
Das ist gerade noch zu zeigen.

Zitat:
Zitat von Lovecraft Beitrag anzeigen
Aber wie hilft mir das? Ich such doch das {n_0}, so dass für die Folgeglieder { n \geq n_0} der Abstand zu dem Grenzwert (hier 2) kleiner ist als epsilon
Du suchst nicht {"\text{das } n_0"} sondern ein {n_0,} für das die Aussage erfüllt ist. Es ist jedoch nicht falsch (sondern nur umständlich), wenn du die Ungleichung {\frac{1}{(n+3)n}<\varepsilon} löst. Das kannst du mit quadratischer Ergänzung bewerkstelligen.

Gruß Shipwater
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Alt 19.05.2018, 22:47   #5   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 129
AW: Konvergenz/Divergenz

Gut also { \lim \limits_{n \to \infty} \frac{1}{(n+3)n} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{1}{(n+3)} \cdot \lim \limits_{n \to \infty} \frac{1} {n}  = 0 \cdot 0 }

so zeigt man das doch oder?
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Alt 21.05.2018, 11:20   #6   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.106
AW: Konvergenz/Divergenz

Das kannst du so machen, wenn dir die dafür benötigten Sätze schon zur Verfügung stehen. Dann kannst du allerdings auch gleich bei {\lim_{n \to \infty}\frac{1+6n+2n^2}{(n+3)n}} mit den Grenzwertsätzen arbeiten.

Gruß Shipwater
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Alt 21.05.2018, 18:10   #7   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 129
AW: Konvergenz/Divergenz

Okay Danke!
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Alt 13.07.2018, 18:59   #8   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 129
AW: Konvergenz/Divergenz

Hallo Leute!


Es geht um folgende Aufgabe, bei der wir mit der Definition des {\epsilon} - Kriteriums die Konvergenz/Divergenz der Folge zeigen sollen. Ist mein Rechenweg so in Ordnung? Ich schreibe am kommenden Mittwoch die Ana Klausur und übe das Thema gerade noch mal ^ ^
Angehängte Grafiken
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Alt 15.07.2018, 03:42   #9   Druckbare Version zeigen
DonCarlos Männlich
Moderator
Beiträge: 1.550
AW: Konvergenz/Divergenz

Deine Rechnung liefert
{|a_n - a| \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon} - 2}}.

Für {\varepsilon = 1} ist also {|a_n - a| \leq - 1}, was offenkundig falsch ist.

Damit ist dein Rechenweg nicht korrekt.

Geändert von DonCarlos (15.07.2018 um 03:48 Uhr)
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Alt 15.07.2018, 04:05   #10   Druckbare Version zeigen
DonCarlos Männlich
Moderator
Beiträge: 1.550
AW: Konvergenz/Divergenz

Hier ein Lösungsvorschlag:
Für {n \in \mathbb{N}} gilt {n + 3 > n}, also gilt {\frac{1}{n + 3} < \frac{1}{n}}.

Mithin gilt {|a_n|\leq \frac{1}{n}}.

Sei {\varepsilon > 0}. Sodann wählen wir {n_0 \geq \frac{1}{\varepsilon}}. Dies liefert die Behauptung.
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Alt 16.07.2018, 10:03   #11   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 129
AW: Konvergenz/Divergenz

Ah stimmt {n_0} ist ja auch aus den natürlichen Zahlen und wenn {\epsilon=1} ist, dann kommt für {n_0=-1} raus, was ja nicht sein kann. Nur noch mal eine Frage zur korrekten Schreibweise: wie beende ich das jetzt auf dem Foto, wo das Fragezeichen steht?
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Alt 16.07.2018, 10:20   #12   Druckbare Version zeigen
DonCarlos Männlich
Moderator
Beiträge: 1.550
AW: Konvergenz/Divergenz

Da kommt natürlich {\varepsilon} hin.

Deinen Aufschrieb solltest du besser überarbeiten.
Du kannst dazu meinen Lösungsvorschlag übernehmen und etwas ausbauen.
DonCarlos ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 16.07.2018, 10:34   #13   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 129
AW: Konvergenz/Divergenz

Super, ich danke dir!
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