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Mathematik Mathematik benötigt man immer, auch in anderen Fächern. Dieses Forum soll als Anlaufpunkt bei der Lösung von mathematischen Fragestellungen dienen.

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Alt 11.01.2018, 19:56   #1   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 106
Lineare Abbildungen

Hi Leute!
Es geht um die Aufgabe (siehe Bild) Kann mir jemand sagen, ob ich sie richtig gelöst hab? (siehe Bild).
Denn ich war mir nicht sicher ob jetzt d entfällt nachdem phi auf f angewendet wird.

Bin sehr dankbar für eure Antwort
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Alt 11.01.2018, 20:05   #2   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.097
AW: Lineare Abbildungen

Warum sollten die {d} wegfallen? Du brauchst eigentlich nicht wirklich {1} oder {2} einsetzen:

{\varphi(f+g)=\left((f+g)(1),(f+g)(2)\right)=\left(f(1)+g(1),f(2)+g(2)\right)=\left(f(1),f(2)\right)+\left(g(1),g(2)\right)=\varphi(f)+\varphi(g)}.

Mit anderen Worten: Die Aussage gilt auch, falls {V} der Vektorraum aller Funktionen {f: \ \mathbb{R} \to \mathbb{R}} ist. Die spezielle Gestalt der Funktionen ist egal.

Gruß Shipwater
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Alt 12.01.2018, 20:52   #3   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 106
AW: Lineare Abbildungen

Oh okay. Woran erkenne ich denn, dass ich gar nicht 1 und 2 einsetzen muss?

Also, dass die Abbildung additiv ist, wurde ja jetzt gezeigt. Zu zeigen ist noch, dass sie homogen ist:

Seien {f \in V, \: \lambda \in \mathbb{R}}
{\varphi(\lambda \cdot f) = (\lambda f(1), \lambda f(2)) = \lambda (f(1), f(2)) = \lambda \cdot \varphi(f)}

Richtig?
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Alt 12.01.2018, 23:27   #4   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.097
AW: Lineare Abbildungen

Du siehst es ja an dem Beweis.

In meiner Rechnung waren es 5 Schritte, bei dir 4 Schritte. Den fehlenden würde ich noch ergänzen.

Gruß Shipwater
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Alt 12.01.2018, 23:40   #5   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 106
AW: Lineare Abbildungen

Ja okay stimmt.

Hmm ich sehe grad nicht welchen Schritt du meinst, den ich ergänzen soll.
Kommt zwischen dem 1. und 2. Schritt noch einer?
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Alt 12.01.2018, 23:55   #6   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.097
AW: Lineare Abbildungen

Zitat:
Zitat von Lovecraft Beitrag anzeigen
Kommt zwischen dem 1. und 2. Schritt noch einer?
Ja.

Gruß Shipwater
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Alt 13.01.2018, 10:21   #7   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 106
AW: Lineare Abbildungen

So stimmt's dann?:

{\varphi(\lambda \cdot f) = ( \: (\lambda f)(1), \: (\lambda f)(2) \: ) = ( \: \lambda f(1), \: \lambda f (2) \: ) = \lambda (f(1), \: f(2)) = \lambda \cdot \varphi (f)}
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Alt 13.01.2018, 10:25   #8   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 106
AW: Lineare Abbildungen

Hier direkt die nächste Aufgabe zu Linearen Abbildungen.
Erstmal zu a):

Da lineare Abbildungen bereits durch Angabe der Bilder einer Basis
eindeutig bestimmt sind, ist zu zeigen, dass die Vektoren (2,1,1),
(0,1,1) und (1,0,1) linear unabhängig sind und somit eine Basis im
{\mathbb{R^{3}}} bilden.

Seien {\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \in \mathbb{R}}

Dann habe ich das LGS aufgestellt:

{\lambda_1 \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+ \lambda_2 \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+ \lambda_3 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) = \vec{0} }
und bekomme raus, dass {\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0}

Somit sind die Vektoren (2,1,1), (0,1,1) und (1,0,1) linear unabhängig
und bilden eine Basis im {\mathbb{R^{3}}} und damit ist f eindeutig bestimmt.

Das müsste ja stimmten oder?
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Alt 13.01.2018, 11:42   #9   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
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Beiträge: 2.097
AW: Lineare Abbildungen

Sieht gut aus.

Gruß Shipwater
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Alt 13.01.2018, 12:15   #10   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 106
AW: Lineare Abbildungen

Cool, so und nun zu b:

Das ist mir noch nicht so richtig klar. Also was ich weiß ist, dass
folgendes gilt:

Für {v \in V } mit { v = \lambda_1 v_1 + ... + \lambda_n v_n} und für
{f(v) \in W } mit { f(v) = \mu_1 w_1 + ... + \mu_2 w_m }, wobei {v_1,..., v_n} die Vektoren der Basis {B_1} aus V sind und {w_1, ... , w_m} die Vektoren der Basis {B_2} aus W sind, gilt:

{A \cdot \left(\begin{array}{c} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} \mu_1 \\ \vdots \\ \mu_m \end{array}\right) }

Also die Matrix A bildet die Koordinaten des Vektors v bzgl der Basis
{B_1} auf die Koordinaten von {f(v)} bzgl der Basis {B_2} ab.

Kann ich mit diesem Wissen eine Basis des Bildes von f bilden?
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Alt 13.01.2018, 12:26   #11   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.097
AW: Lineare Abbildungen

Du hast doch {f(2,1,1)=(2,0,0), \ f(0,1,1)=(0,1,1)} und {f(1,0,1)=(4,-1,-1)} gegeben. Das Bild wird damit von {(2,0,0), \ (0,1,1)} und {(4,-1,-1)} aufgespannt.

Gruß Shipwater
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Alt 13.01.2018, 13:03   #12   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 106
AW: Lineare Abbildungen

Ah ja, d.h. diese Matrix


{ A =\begin{pmatrix}2 & 0 & 4  \\0 & 1 & -1  \\0 & 1 & -1  \\\end{pmatrix}}

bringe ich jetzt durch Umformungen in die Zeilenstufenform und schaue mir
jede Zeile an und markiere jeweils die ersten Elemente ungleich Null.
Und dann bilden die ursprünglichen Spalten von meinen markierten Elementen eine
Basis des Bildes der linearen Abbildung.

Ich erhalte durch eine Umformung

{\begin{pmatrix}2 & 0 & 4  \\0 & 1 & -1  \\0 & 0 & 0  \\\end{pmatrix}} und damit ist eine Basis von Im(f): {B = \left{ (2,0,0), (0,1,1) \right}}

Stimmt das?
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Alt 13.01.2018, 13:18   #13   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
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Beiträge: 2.097
AW: Lineare Abbildungen

Wenn ihr das so in der Vorlesung hattet, dann wird es sicher passen. Ich persönlich hätte bei deiner Matrix {A} eher Spaltenumformungen gemacht.

Wegen {\( \array{4\\-1\\-1}\)=2\( \array{2\\0\\0}\)-\( \array{0\\1\\1}\)   } kann man den Vektor {\( \array{4\\-1\\-1}\)} jedenfalls streichen und die lineare Unabhängigkeit der übrigen zwei Vektoren ist auch klar.

Gruß Shipwater
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Alt 13.01.2018, 13:49   #14   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
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Themenersteller
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AW: Lineare Abbildungen

Gut, d.h. wenn ich jetzt mit Spaltenumformungen arbeite und die Matrix {A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0  \\0 & 1 & 0  \\0 & 1 & 0  \\\end{pmatrix}} erhalte, reicht es also dann damit zu argumentieren, dass die beiden Spaltenvektoren {\left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array}\right) } und {\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}\right) } linear undabhängig sind und damit eine Basis von Im(f) bilden? Also ohne die Zeilenstufenform berechnen zu müssen.

Also ist eine Basis des Bildes einer linearen Abbildung immer die Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren der Matrix, die eben aus den Vektoren bestehen, die das Bild aufspannen? (sprich { f(v_1), f(v_2), ... })
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Alt 13.01.2018, 14:19   #15   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
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Beiträge: 2.097
AW: Lineare Abbildungen

Ich denke du meinst das Richtige, auch wenn es seltsam formuliert ist.

Gruß Shipwater
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