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Mathematik Mathematik benötigt man immer, auch in anderen Fächern. Dieses Forum soll als Anlaufpunkt bei der Lösung von mathematischen Fragestellungen dienen.

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Alt 03.01.2018, 20:37   #1   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 106
Erzeugendensystem/Basis

Hallo Leute!

Es geht um diese Aufgabe:
Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und { M \subseteq V }.
Zeigen Sie: M ist genau dann eine Basis von V, wenn M ein
Erzeugendensystem von V derart ist, dass jeder Vektor in V eindeutig
als Linearkombination von Vektoren aus M dargestellt werden kann.


Also damit M eine Basis von V ist, muss es ein Erzeugendensystem von
V sein, also span(M) = V und M muss linear unabhängig sein.

Ich weiß nicht so recht wie ich das allgemein zeigen soll, ich fange
mal so an:

Sei {M = \left{v_1, v_2, \dots , v_n \right} } und { \lambda_1 , \lambda_2 , \dots , \lambda_n \in K ( \mathbb{R} )} dann gilt
{ \forall w \in V: \: w = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \dots \lambda_n v_n}

ist das so ok?
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Alt 04.01.2018, 13:37   #2   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.097
AW: Erzeugendensystem/Basis

Zitat:
Zitat von Lovecraft Beitrag anzeigen
Also damit M eine Basis von V ist, muss es ein Erzeugendensystem von
V sein, also span(M) = V und M muss linear unabhängig sein.
Ja, aber beachte, dass du eine "genau dann wenn"-Aussage zeigen willst, das heißt es sind zwei Richtungen zu beachten. Du solltest dazuschreiben welche Richtung du als erstes in Angriff nimmst.

Zitat:
Zitat von Lovecraft Beitrag anzeigen
Ich weiß nicht so recht wie ich das allgemein zeigen soll, ich fange
mal so an:

Sei {M = \left{v_1, v_2, \dots , v_n \right} } und { \lambda_1 , \lambda_2 , \dots , \lambda_n \in K ( \mathbb{R} )} dann gilt
{ \forall w \in V: \: w = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \dots \lambda_n v_n}

ist das so ok?
In der Aufgabenstellung steht nicht, dass {M} endlich ist und von {\mathbb{R}} ist dort auch nicht die Rede, daher musst du den Beweis allgemeiner halten. Du betrachtest also als erstes folgende Richtung: Wenn {M} ein Erzeugendensystem von {V} derart ist, dass jeder Vektor in {V} eindeutig als Linearkombination von Vektoren aus {M} dargestellt werden kann, dann ist {M} eine Basis von {V}.
Deine Voraussetzung ist also, dass sich jeder Vektor in {V} eindeutig als Linearkombination von Vektoren aus {M} schreiben lässt. Und zeigen möchtest du, dass {M} dann schon eine Basis ist, was laut eurer Definition bedeutet: {M} ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Überlege dir zunächst warum {M} laut Voraussetzung offensichtlich ein Erzeugendensystem ist. Und anschließend warum {M} linear unabhängig ist.

Gruß Shipwater
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Alt 04.01.2018, 14:35   #3   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 106
AW: Erzeugendensystem/Basis

Danke für die Tipps! Ok wie wär's damit:

Laut Voraussetzung gilt { M \subseteq V } und wir wissen, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt (jeder Vektorraum erzeugt sich selbst).
Wenn M ein Erzeugendensystem von V ist und zudem sich auch noch jeder Vektor aus V eindeutig als Linearkombination von Vektoren aus M darstellen lässt (d.h. M ist linear unabhängig), dann ist M auch eine Basis von V.

Nur habe ich es dadurch schon gezeigt, wenn ich diese Aussagen getroffen habe?
Kommt mir nicht so vor ^ ^
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Alt 04.01.2018, 14:48   #4   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.097
AW: Erzeugendensystem/Basis

Zitat:
Zitat von Lovecraft Beitrag anzeigen
Laut Voraussetzung gilt { M \subseteq V } und wir wissen, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt (jeder Vektorraum erzeugt sich selbst).
Deine Bemerkung in den Klammern ist unpassend.

Zitat:
Zitat von Lovecraft Beitrag anzeigen
Wenn M ein Erzeugendensystem von V ist und zudem sich auch noch jeder Vektor aus V eindeutig als Linearkombination von Vektoren aus M darstellen lässt (d.h. M ist linear unabhängig), dann ist M auch eine Basis von V.
Ok, Erzeugendensystem ist klar, weil das ja schon direkt in den Voraussetzungen steht. Dann bleibt also noch die lineare Unabhängigkeit zu zeigen. Diese solltest du genauer begründen. Es ist nun wichtig, dass sich ein ganz bestimmter Vektor eindeutig als Linearkombination von Vektoren aus {M} schreiben lässt. Welchen Vektor meine ich?

Gruß Shipwater
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Alt 04.01.2018, 15:16   #5   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 106
AW: Erzeugendensystem/Basis

Dass jeder Vektorraum sich selbst erzeugt lasse ich dann weg!

Kurz noch zu dem Erzeugendensystem: Also kann man sagen, dass wenn wir irgendeinen
K-Vektorraum V gegeben haben und eine Menge M, die Teilmenge von V
ist, dass dann M automatisch ein Erzeugendensystem ist?

Und zum zweiten Teil:
Also wenn { \vec{0} = \lambda_{1} v_{1} + \lambda_{2} v_{2} + ... }
D.h. wenn sich der Nullvektor eindeutig als Linearkombination von Vektoren aus M schreiben lässt, d.h. wenn für alle lambdas nur die triviale Lösung
(alle lambdas = 0) gilt, dann ist M ein linear unabhängiges Erzeugendensystem und somit eine Basis von V.
Stimmt das und bin ich damit dann fertig?
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Alt 04.01.2018, 15:43   #6   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.097
AW: Erzeugendensystem/Basis

Zitat:
Zitat von Lovecraft Beitrag anzeigen
Kurz noch zu dem Erzeugendensystem: Also kann man sagen, dass wenn wir irgendeinen
K-Vektorraum V gegeben haben und eine Menge M, die Teilmenge von V
ist, dass dann M automatisch ein Erzeugendensystem ist?
Natürlich nicht. Versuche dir das an Beispielen klar zu machen!

Zitat:
Zitat von Lovecraft Beitrag anzeigen
Und zum zweiten Teil:
Also wenn { \vec{0} = \lambda_{1} v_{1} + \lambda_{2} v_{2} + ... }
D.h. wenn sich der Nullvektor eindeutig als Linearkombination von Vektoren aus M schreiben lässt, d.h. wenn für alle lambdas nur die triviale Lösung
(alle lambdas = 0) gilt, dann ist M ein linear unabhängiges Erzeugendensystem und somit eine Basis von V.
Stimmt das und bin ich damit dann fertig?
Der Nullvektor ist zumindest der, den ich oben meinte. Damit hast du die lineare Unabhängigkeit. Und Erzeugendensystem hast du, weil es in der Voraussetzung doch schon steht, siehe: "Wenn {M} ein Erzeugendensystem von {V} derart ist, dass jeder Vektor in {V} eindeutig als Linearkombination von Vektoren aus {M} dargestellt werden kann, dann ist {M} eine Basis von {V}.

Gruß Shipwater
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Alt 04.01.2018, 15:56   #7   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 106
Daumen hoch AW: Erzeugendensystem/Basis

Zitat:
Zitat von shipwater Beitrag anzeigen
Natürlich nicht. Versuche dir das an Beispielen klar zu machen!
Ah ja stimmt! Denn wenn wir eine Menge mit konkreten Vektoren
gegeben haben, die Teilmenge eines Vektorraumes ist, dann muss sie
nicht zwangsläufig ein EZS sein.

Ich danke dir mal wieder Shipwater
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Alt 04.01.2018, 17:30   #8   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 106
AW: Erzeugendensystem/Basis

Hey nochmal!
Zu folgender Aufgabe wollte ich fragen, ob die Rangehensweise richtig ist:

Wir betrachten den Vektorraum V der Funktionen
{f:[0,1] \to \mathbb{R} } über dem Körper { \mathbb{R}}
mit der punktweisen Addition und Skalarmultiplikation.

Zeigen Sie, dass {U:= \left{ f:[0,1] \to \mathbb{R}\mid \forall x \in [0,1] \: \: f(x) = ax^{2} + bx + c, \: a,b,c \in \mathbb{R} \right}}
ein Unterraum von V ist.


Also die Definition für einen Unterraum ist ja:
1. {U \neq \emptyset}
2. {\forall f,g \in U: \: f+g \in U}
3. {\forall g \in U, \: \forall \lambda \in K: \: \lambda g \in U}


Zu 1.:

Man definiere {f: [0,1] \to \mathbb{R}, x \mapsto 0 } Dann ist { f \in U }, denn { f(x) = 0 } und { 0 \in \mathbb{R} }

Ist das erstmal richtig?
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Alt 05.01.2018, 12:07   #9   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.097
AW: Erzeugendensystem/Basis

Zitat:
Zitat von Lovecraft Beitrag anzeigen
Man definiere {f: [0,1] \to \mathbb{R}, x \mapsto 0 } Dann ist { f \in U }, denn { f(x) = 0 } und { 0 \in \mathbb{R} }

Ist das erstmal richtig?
Richtig, das erhält man für die Wahl {a=b=c=0}.

Gruß Shipwater
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Alt 05.01.2018, 13:14   #10   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 106
AW: Erzeugendensystem/Basis

Ok und wenn ich jetzt z.B. definiere {f:[0,1] \to\mathbb{R}, x \mapsto 2}, dann ist {f \in U}, denn
{f(x) = 2} für a=b=0 und c=2, {a,b,c \in \mathbb{R}}
Hier gehts ja nur darum zu zeigen, dass U nicht die leere Menge ist.
Also wäre das auch richtig oder?

Und noch eine Verständnisfrage:
Ich hab ja definiert, dass irgendein x z.B. auf 0 oder wie eben oben auf 2
abbildet. Aber dieses irgendeine x selbst darf ja nur zwischen 0
und 1 liegen richtig?



Zu 2. gehe ich so vor:

Seien {f,g \in U}, dann ist {(f+g)(x) = f(x)+g(x) = (a_1 x^{2} + b_1 x + c_1) + (a_2 x^{2} + b_2 x + c_2) = (a_1 + a_2)x^{2} + (b_1 + b_2)x + (c_1 + c_2)} und somit ist
{f+g \in U} erfüllt.
Stimmt so?
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Alt 05.01.2018, 14:43   #11   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.097
AW: Erzeugendensystem/Basis

Sieht alles gut aus.

Gruß Shipwater
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Alt 05.01.2018, 14:57   #12   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 106
AW: Erzeugendensystem/Basis

Okay und nun noch 3. zu zeigen:
Sei {g \in U} und {\lambda \in \mathbb{R}}, dann ist
{(\lambda \cdot g)(x) = \lambda g (x) = \lambda (ax^{2}+bx+c) = \lambda ax^{2}+\lambda bx + \lambda c} und damit ist auch {\lambda g \in U}

Somit ist U ein Unterraum von V.
Korrekt?
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Alt 05.01.2018, 15:03   #13   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.097
AW: Erzeugendensystem/Basis

Ja. Weil {\lambda \in \mathbb{R}} und {a,b,c \in \mathbb{R}} sind auch die Produkte {\lambda a, \lambda b, \lambda c \in \mathbb{R}}.

Gruß Shipwater
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Alt 05.01.2018, 15:19   #14   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 106
AW: Erzeugendensystem/Basis

Ah genau, das schreibe ich dann noch dazu, dankeschön!

Und um die Aufgabe abzuschließen, soll ich eine Basis angeben und
nachweisen, dass es tatsächlich eine Basis ist.

Also d.h. ich muss Funktionen finden im Intervall von [0,1], die auf
die reellen Zahlen abbilden. Und diese Funktionen sollen dann
linear unabhängig sein und den gesamten reellen Raum erzeugen
und die Form {f(x) = ax^{2}+bc+c \: a,b,c \in \mathbb{R}} haben.
Ist das so ausformuliert richtig?

Hier geht man ja dann analog vor, wie wenn man aus Vektoren eine Basis bildet.
Also möchte ich den Nullvektor als Linearkombination von Funktionen der Form
{f(x) = ax^{2}+bc+c \: a,b,c \in \mathbb{R}} darstellen?
Sprich {\vec{0} = \lambda_1 f_1 + \lambda_2 f_2 + ...}
Das kommt mir so komisch vor, ich soll ja eine konkrete Basis angeben
Lovecraft ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 05.01.2018, 15:26   #15   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.097
AW: Erzeugendensystem/Basis

Zitat:
Zitat von Lovecraft Beitrag anzeigen
Also d.h. ich muss Funktionen finden im Intervall von [0,1], die auf
die reellen Zahlen abbilden. Und diese Funktionen sollen dann
linear unabhängig sein und den gesamten reellen Raum erzeugen
und die Form {f(x) = ax^{2}+bc+c \: a,b,c \in \mathbb{R}} haben.
Ist das so ausformuliert richtig?
Nein, diese Funktionen sollen den Unterraum {U} erzeugen. {U} ist ja praktisch schon definiert als die Menge aller Linearkombinationen dreier bestimmter Funktionen. Welche Funktionen sind das?

Gruß Shipwater
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