Lineare (Un-)abhängigkeit - Mathematik

Lovecraft · 02.01.2018, 14:30

Hi Leute!

Es geht um diese Aufgabe:

Wir betrachten Vektorräume über ${ \mathbb{R} }$ . Bestimmen Sie,
ob die folgenden Mengen linear unabhängig sind und begründen Sie Ihre
Ergebnisse:

{7}

Ich weiß nicht so recht, was das für ein Vektor sein soll? Ist
das der Vektor (7,0,0,...,n) ?

Wenn z.B. zwei Vektoren ${\vec{v}, \vec{w}}$ linear abhängig voneinander sind, dann gilt ja: ${ \vec{v}= \lambda \vec{w} }$ .
Wie gehe ich jedoch hier vor? ^ ^'

Bin sehr dankbar, wenn mir jemand auf die Sprünge hilft

Lovecraft · 02.01.2018, 15:10

Und jetzt habe ich für die Menge {(2,1,2), (3,2,3), (2,1,3)} ausgerechnet, dass sie linear unabhägig ist (siehe Bild).

Ist es richtig, wenn ich für die nächste Menge (die so aussieht {(2,1,2), (3,2,3), (2,1,3), (3,2,1)} ) folgendes schreibe?:

Diese Menge besteht aus den drei linear unabhängigen Vektoren (2,1,2), (3,2,3) und (2,1,3) und dem zusätzlichen Vektor (3,2,1).
Der zusätzliche Vektor ist in diesem Fall für eine lineare Unabhängigkeit überflüssig, da die Vektoren dieser Menge aus drei Koordinaten bestehen und die die ersten drei Vektoren bereits linear unabhängig sind. Dises Menge ist somit linear abhängig.

Lovecraft · 02.01.2018, 18:12

Achja zu der Menge {7}: sie ist linear unabhängig, denn aus
${ 7 \lambda = \vec{0} }$ folgt, dass ${ \lambda = 0 }$ und damit ist die Menge linear unabhängig.

Stimmt das so?

shipwater · 03.01.2018, 12:05

Zitat:

Zitat von Lovecraft

Achja zu der Menge {7}: sie ist linear unabhängig, denn aus
${ 7 \lambda = \vec{0} }$ folgt, dass ${ \lambda = 0 }$ und damit ist die Menge linear unabhängig.

Stimmt das so?

Ja, das stimmt.

Zitat:

Zitat von Lovecraft

Und jetzt habe ich für die Menge {(2,1,2), (3,2,3), (2,1,3)} ausgerechnet, dass sie linear unabhägig ist (siehe Bild).

Bei deinem angefügten Bild hast du dich in der letzten Zeile beim Aufstellen des LGS vertan (da müsste ${3\mu}$ anstatt ${2\mu}$ stehen). Die Vektoren sind aber dennoch linear unabhängig.

Zitat:

Zitat von Lovecraft

Diese Menge besteht aus den drei linear unabhängigen Vektoren (2,1,2), (3,2,3) und (2,1,3) und dem zusätzlichen Vektor (3,2,1).
Der zusätzliche Vektor ist in diesem Fall für eine lineare Unabhängigkeit überflüssig, da die Vektoren dieser Menge aus drei Koordinaten bestehen und die die ersten drei Vektoren bereits linear unabhängig sind. Dises Menge ist somit linear abhängig.

Etwas komisch formuliert, aber du meinst wohl das Richtige: Vier Vektoren im ${\mathbb{R}^3}$ sind immer linear abhängig.

Gruß Shipwater

Lovecraft · 03.01.2018, 18:57

Super! Ich danke dir

Gruß, Lovecraft