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Mathematik Mathematik benötigt man immer, auch in anderen Fächern. Dieses Forum soll als Anlaufpunkt bei der Lösung von mathematischen Fragestellungen dienen.

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Alt 05.11.2017, 15:08   #1   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
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Beiträge: 129
Mengenfamilien

Hi Leute, eine kurze Frage zur Rangehensweise, es geht
um Mengenfamilien und die Aufgabe lautet so:


Wir bezeichnen {\mathbb{N}^+ } die Menge der positiven, natürlichen Zahlen und mit { 2 \mathbb{N}^+ } die Teilmenge der geraden, positiven, natürlichen Zahlen. Die Elemente der Mengenfamilie { \left{ A_n\ | n \in \mathbb{N}^+ \right} } sind wie folgt definiert:
{  A_n = \left{ q \in \mathbb{Q} \: | \: \exist k \in \mathbb{N} \; (k \le n \wedge q = \frac kn) \right} }

Bestimmen (und begründen) Sie die folgenden Vereinigungen und
Durchschnitte:
a) { \bigcup \limits_{n \in \mathbb{N}^+} A_n }


Ich habe das jetzt so aufgeschrieben:

{ \bigcup \limits_{n \in \mathbb{N}^+} A_n = \left{ 1,2,3,4, ... \right} = \mathbb{N}^+ \backslash \left{ 0 \right} } , denn { k \le n } und z.B. mit n=0 und k=0 ist somit { q= \frac 00} nicht definiert


Ist das so richtig? Bin sehr dankbar für eine rasche Antwort
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Alt 05.11.2017, 15:23   #2   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 129
AW: Mengenfamilien

Oh mir fällt gerade ein, dass ja k aus den natürlichen Zahlen ist und n aus N+, also ohne die Null und damit ist mein Beispiel falsch. Also mit konkreten Werten sieht das z.B. jetzt so aus { A_1 = \left{ \frac 01 \: , \: \frac 11 \right} = \left{ 0,1 \right} } und dann geht`s so weiter
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Alt 05.11.2017, 15:39   #3   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 129
AW: Mengenfamilien

So jetzt habe ich das fortgesetzt und man erkennt, dass die Vereinigung alle rationalen Zahlen zwischen 0 und 1 sind, jedoch ist die Null nicht drin, da unser n ja Element von N+ ist und da ist die Null nicht drin, also sieht das so aus oder?:

{ \bigcup \limits_{n \in \mathbb{N}^+} A_n = \left{ q \in \mathbb{Q} \: | \: 0 < q \le 1 \right} }

Geändert von Lovecraft (05.11.2017 um 16:00 Uhr)
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Alt 05.11.2017, 17:06   #4   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
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Themenersteller
Beiträge: 129
AW: Mengenfamilien

Damit es richtig ist, muss q größer gleich 0 und kleiner gleich 1 sein.
Jetzt sollte es aber stimmen?
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Alt 06.11.2017, 10:30   #5   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
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Beiträge: 21.618
AW: Mengenfamilien

kannst du deine entgueltige antwort vollstaendig begruenden?

Nick
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Alt 06.11.2017, 12:55   #6   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
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Themenersteller
Beiträge: 129
AW: Mengenfamilien

Ja. Da die Vereinigung aus denjenigen Elementen besteht, die wenigstens in einer der vereinigten Mengen enthalten ist, umfasst { \bigcup \limits_{n \in \mathbb{N}^+ } A_n } also alle rationalen Zahlen zwischen 0 und 1 (beide inbegriffen), folglich sieht die Menge so aus: { \left{ q \in \mathbb{Q} \: | \: 0 \le q \le 1 \right} }
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Alt 06.11.2017, 20:50   #7   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
Mitglied
Beiträge: 21.618
AW: Mengenfamilien

so zeige, dass jede rationale zahl in wenigsten einer der A_n enthalten ist und jedes element eines A_n eine rationale zahl zwischen 0 und 1 ist

Nick
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Alt 07.11.2017, 13:36   #8   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 129
AW: Mengenfamilien

Uff wie zeige ich das für jede rationale Zahl? ^ ^
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Alt 07.11.2017, 14:05   #9   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
Mitglied
Beiträge: 21.618
AW: Mengenfamilien

das ist die aufgabenstellung kannst du eine der beiden richtungen zeigen?

Nick
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