Affine Unterräume - Mathematik

Lovecraft · 13.01.2018, 19:23

Hey allerseits!

Es geht um diese Aufagabe (siehe Bild). Und ich weiß nicht recht wie ich anfangen soll :l
Hat wer einen Tipp für mich, was ich mir am besten angucken soll? Affinie Unterräume hatten wir nicht direkt in der Vorlesung gehabt

Ich danke euch

shipwater · 13.01.2018, 19:51

Du kannst dir einen affinen Unterraum hier einfach als einen verschobenen Untervektorraum vorstellen. Im ${\mathbb{R}^2}$ ist z.B. jede Ursprungsgerade ein Untervektorraum. Eine Gerade, die nicht durch den Ursprung verläuft, ist hingegen keiner. Das ist dann aber immerhin noch ein affiner Unterraum.

Gruß Shipwater

Lovecraft · 13.01.2018, 20:06

Jetzt kann ich mir schon mal etwas drunter vorstellen. Jedoch weiß ich immer noch nicht wie ich an diese Aufgabe rangehen soll.

Bei a) soll ich ja zeigen, dass für alle Vektoren v' aus dem affinen Unterraum X gilt, dass X gleich die Summe aus eben diesem Vektor v' und dem Unterraum W von V ist.

Aber hab keine Idee wie ich das anpacke

shipwater · 13.01.2018, 20:19

Wenn du gar keine Ideen hast, kannst du erstmal die Formeln sprechen lassen. Eine Gleichheit kann man in die zwei Inklusionen ${\subseteq}$ und ${\supseteq}$ zerlegen. Suche dir eine davon aus und schaue dann was du hast und was du haben willst.

Vielleicht hilft dir auch eine Anschauung: Wir betrachten den affinen Unterraum ${ $ \array{0\\1}$+\langle $ \array{1\\0}$ \rangle=\{ $ \array{t\\1}$:\ t \in \mathbb{R}\}.}$ Die Behauptung ist nun, dass sich der affine Unterraum nicht ändert, wenn du statt ${ $ \array{0\\1}$}$ ein anderes Element aus dem affinen Unterraum an ${\langle $ \array{1\\0}$ \rangle}$ addierst. Also ${ $ \array{0\\1}$+\langle $ \array{1\\0}$ \rangle=$ \array{t\\1}$+\langle $ \array{1\\0}$ \rangle}$ für jedes ${t \in \mathbb{R}}$ .

Gruß Shipwater

Lovecraft · 14.01.2018, 11:54

Meinst du diese Gleichheit {X = v' + W}

oder die mit der Mengenangabe?

Also ich habe jetzt noch was zu affinen Unterräumen gefunden.

Auf diese Aufgabe bezogen:

{X = v + W}

sei ein affiner Unterraum in V. Dann gilt:

${1. \: v \in X}$
${2. \: x,y \in X \Rightarrow x-y \in W}$
${3. \: X = v' + W, \: \forall v' \in X}$

Zu 1.: ${v = v + \vec{0}}$ und ${\vec{0} \in W}$
Zu 2.: Sind x und y Vektoren aus X, so besitzen sie eine dementsprechene Darstellung.
Es gibt also ${w, w* \in W}$ , so dass {x=v+w}

und

Weil nun W ein Unterraum ist, hat man: ${x-y=v+w-(v+w*)=w-w* \in W}$

Zu 3.: Sei v' ein beliebiger Vektor aus X. Wir zeigen wieder, dass X und v'+W dieselben
Elemente enthalten:

${x \in X \Leftrightarrow x-v \in W}$
${\Leftrightarrow x-v'+(v'-v) \in W}$
${\Leftrightarrow x-v' \in W}$ , denn nach 1. und 2. ist ${v'-v \in W}$
${\Leftrightarrow x \in v'+W}$

Durch Punkt 3 bin ich dann fertig oder?

shipwater · 14.01.2018, 12:16

Zitat:

Zitat von Lovecraft

Meinst du diese Gleichheit {X = v' + W}

oder die mit der Mengenangabe?

Natürlich meine ich diese Gleichheit.

Zitat:

Zitat von Lovecraft

Durch Punkt 3 bin ich dann fertig oder?

Ja.

Gruß Shipwater

Lovecraft · 14.01.2018, 20:01

Gut, jetzt sind mir bei b) noch paar Sachen unklar.

Bedeutet ${ u \in f^{-1}(w)}$ , dass ${u \in V}$ ? Also bedeutet ${f^{-1}}$ , dass es die Umkehrabbildung
von W' nach V ist? Und wenn ja, dann ist doch ${ u \in f^{-1}(w)}$ nur
eine andere Schreibweise für ${u \in V}$ oder versteh ich da was falsch?

shipwater · 14.01.2018, 20:45

Zitat:

Zitat von Lovecraft

Bedeutet ${ u \in f^{-1}(w)}$ , dass ${u \in V}$ ?

Unter anderem. Es beinhaltet aber auch noch {f(u)=w}

.

Zitat:

Zitat von Lovecraft

Also bedeutet ${f^{-1}}$ , dass es die Umkehrabbildung von W' nach V ist?

Eine Umkehrabbildung muss hier nicht existieren. Es ist das ganz normale Urbild gemeint.

Gruß Shipwater