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Mathematik Mathematik benötigt man immer, auch in anderen Fächern. Dieses Forum soll als Anlaufpunkt bei der Lösung von mathematischen Fragestellungen dienen.

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Alt 13.01.2018, 18:10   #1   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
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Beiträge: 129
Matrizen

Hey Leute!

Es geht um diese Aufgabe (siehe Bild). In der Aufgabenstellung heißt es ja man soll zeigen, dass es ein Monoid ist, aber keine Gruppe.
Mit 1) und 2) habe ich ja gezeigt, dass es ein Monoid ist.
Soll ich jetzt noch zeigen, dass es kein Inverses gibt? Weil es gibt ja keins, also kann man's ja auch nicht zeigen?
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Alt 13.01.2018, 18:37   #2   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
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AW: Matrizen

Zitat:
Zitat von Lovecraft Beitrag anzeigen
Soll ich jetzt noch zeigen, dass es kein Inverses gibt? Weil es gibt ja keins, also kann man's ja auch nicht zeigen?
Du kannst ein Gegenbeispiel angeben und beweisen, dass kein Inverses dazu existiert.

Gruß Shipwater
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Alt 13.01.2018, 19:13   #3   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
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Beiträge: 129
AW: Matrizen

Z.B. für {A=\begin{pmatrix}3 & 0 \\0 & 2 \\\end{pmatrix}} gibt es aber doch ein inverses Element {A^{-1}=\begin{pmatrix}  \frac13 & 0 \\0 & \frac12 \\\end{pmatrix}}, so dass {A^{-1} A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 0 \\\end{pmatrix}}

Aber gut das heißt ja nicht, dass es für alle {A \in M} dieses inverse Element gibt.
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Alt 13.01.2018, 19:41   #4   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
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AW: Matrizen

Ist {A^{-1} \in M}? Kann es ein Inverses in {M} geben?

Gruß Shipwater
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Alt 13.01.2018, 19:46   #5   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
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Beiträge: 129
AW: Matrizen

Aaach ja stimmt, durch die Definition von M können unsere Einträge a und b nur positive natürliche Zahlen sein, somit kann es gar kein Inverses zu A in M geben. Also wenn, dann nur, wenn a=b=1 ist. Dann ist das Inverse dazu die Einheitsmatrix selbst. Für alle anderen Werte für a und b gibt es kein Inverses!

Danke!
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Alt 13.01.2018, 19:55   #6   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
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Beiträge: 2.106
AW: Matrizen

Genau.

Gruß Shipwater
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Alt 18.01.2018, 20:10   #7   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
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AW: Matrizen

Hey!

Es geht um diese Aufgabe. Bei 1. habe ich jetzt diese Dreiecksmatrix raus.

Und jetzt weiß ich noch nicht so recht, wie ich bei 2.) die Dimension des Kerns der bezüglich der Standardbasen zugehörigen linearen Abbildung berechnen soll.

Der Kern einer linearen Abbildung ist ja so definiert: {Ker \: f = \left{ \vec{v} \in V | f( \vec{v} ) = \vec{0} \right}}

Und ich habe ja für den Spalten- und Zeilenrang 3 raus, d.h. die 3 Spalten/Zeilenvektoren sind linear unabhängig. Kann mir wer sagen, wie jetzt vorzugehen ist?
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Alt 18.01.2018, 21:32   #8   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
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Beiträge: 2.106
AW: Matrizen

Wenn du den Rang schon hast, geht es mit der Dimensionsformel am schnellsten.

Gruß Shipwater
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Alt 21.01.2018, 17:22   #9   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
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AW: Matrizen

Ich würde das jetzt so machen:

dim A = dim (Ker A) + dim (Im A)
dim A = dim (Ker A) + rg A
dim (Ker A) = 4 - 3 = 1

Also ist die Dimension des Kerns der bzgl der Standardbasen zugehörigen linearen Abbildung (der Matrix) = 1?
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Alt 21.01.2018, 23:05   #10   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
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Beiträge: 2.106
AW: Matrizen

Passt, aber bei der Dimensionsformel solltest du nicht {\dim A} schreiben. Schau sie dir nochmal genau an.

Gruß Shipwater
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Alt 22.01.2018, 13:14   #11   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
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Themenersteller
Beiträge: 129
AW: Matrizen

Ja statt dim A steht ja da dim V, aber dim V = dim A oder?
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Alt 22.01.2018, 15:15   #12   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
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Beiträge: 2.106
AW: Matrizen

Ist {A} ein Vektorraum?

Gruß Shipwater
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Alt 22.01.2018, 21:30   #13   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
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AW: Matrizen

Du darfst gerne erklären wie du das mit {\dim V=\dim A} meinst. Nick hat mich nämlich darauf aufmerksam gemacht, dass das ok ist (bei richtiger Interpretation).

Gruß Shipwater
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Alt 23.01.2018, 11:53   #14   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
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Themenersteller
Beiträge: 129
AW: Matrizen

Also wir kennen ja die Dimensionsformel für lineare Abbildungen { dim V = dim (Ker f) + dim (Im f) = dim (Ker f) + rg f}. Und die Dimensionsformel für Matrizen können wir als Spezialfall für die Dimensionsformel für lineare Abbildungen betrachten.

Sei {A \in K^{n,m}}, dann gilt: {dim (K^{m}) = dim (Ker A) + rg A } und das ist ja {m = dim (Ker A) + rg A} und in diesem Fall habe ich ja eine 4x4 Matrix, also ist m=4 und dann erhalte ich: {dim (Ker A) = m - rg A = 4-3=1}

Mir ist jedoch eine Sache noch unklar. Und zwar steht in der Aufgabenstellung, dass wir die Dimension des Kerns der bzgl der Standardbasen zugehörigen linearen Abbildung bestimmen sollen. Und ich habe doch nur die Formel angewandt und mich gar nicht auf die Standardbasen bezogen.
Ah die Standardbasis bei einer 4x4 Matrix hat ja die Dimension 4 und das ist ja auch die Dimension der Matrix A. Deswegen?
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Alt 23.01.2018, 16:05   #15   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
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Beiträge: 2.106
AW: Matrizen

Zitat:
Zitat von Lovecraft Beitrag anzeigen
Also wir kennen ja die Dimensionsformel für lineare Abbildungen { dim V = dim (Ker f) + dim (Im f) = dim (Ker f) + rg f}. Und die Dimensionsformel für Matrizen können wir als Spezialfall für die Dimensionsformel für lineare Abbildungen betrachten.

Sei {A \in K^{n,m}}, dann gilt: {dim (K^{m}) = dim (Ker A) + rg A } und das ist ja {m = dim (Ker A) + rg A} und in diesem Fall habe ich ja eine 4x4 Matrix, also ist m=4 und dann erhalte ich: {dim (Ker A) = m - rg A = 4-3=1}
Hmm, und wo taucht da jetzt {\dim A} auf?

Zitat:
Zitat von Lovecraft Beitrag anzeigen
Mir ist jedoch eine Sache noch unklar. Und zwar steht in der Aufgabenstellung, dass wir die Dimension des Kerns der bzgl der Standardbasen zugehörigen linearen Abbildung bestimmen sollen. Und ich habe doch nur die Formel angewandt und mich gar nicht auf die Standardbasen bezogen.
Deine Berechnung des Rangs war aber auf die Standardbasis bezogen und das geht ja in die Rechnung ein. Wenn es nur um den Rang (also die Dimension des Bildes und nicht um das Bild selbst) geht, spielt das eh keine große Rolle, da der Rang gleich dem Rang jeder Abbildungsmatrix ist.

Gruß Shipwater
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