Mathematik
Buchtipp
Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1
L. Papula
28.90 €

Buchcover

Anzeige
Stichwortwolke
forum

Zurück   ChemieOnline Forum > Naturwissenschaften > Mathematik

Hinweise

Mathematik Mathematik benötigt man immer, auch in anderen Fächern. Dieses Forum soll als Anlaufpunkt bei der Lösung von mathematischen Fragestellungen dienen.

Anzeige

Antwort
 
Themen-Optionen Ansicht
Alt 22.10.2017, 03:13   #1   Druckbare Version zeigen
SomeoneElse Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 16
Rechteckfunktion aus Orthonormalbasis

Hallo Allerseits,

Ich versuche gerade eine Aufgabe zu rechnen, bei der ich eine Rechteckfunktion
{f[x]=z\forall x \in[0,b], =0|else}
als Linearkombination aus Basisfunktionen der Orthonormalbasis
{{|\varphi _n >} } mit { |\varphi _n > = \sqrt{ \frac {2}{b}} * sin }{\frac {n \pi x} {b}}
darstellen soll.

Also im Prinzip {a_n} berechnen in der Schreibweise der Funktion als
{|\Phi>=\sum_{n=1}^{\infty}{a_n|\varphi_n>}

.
Da es um ein Wellenpaket geht, welches quadratintegrabel sein müsste, hab ich versucht
{<\Phi|\Phi>=^{!} } { 1 }
zu bilden, bin aber recht bald gescheitert.


Liegt das daran, dass ich nicht versteh, wie ich über
{\langle\sum_{i} ({a_i \varphi _i })| \sum_j ({a_j \varphi _j } )\rangle}
auf ein
{\sum |a_i|^2}
komme, da ich
{\langle i|j\rangle = 1}
nicht sehe?

{a_n} müsste eine Funktion von {n} und {b} sein, und einen Vorzeichenwechsel bei geraden/ungeraden {n}s haben.

Ich hab das Gefühl, als würd mir die Lösung quasi ins Gesicht springen, aber ich komm keinen Schritt weiter. Wenn mir jemand erklären könnte wo ich hänge oder mir einen Tipp geben kann, wie ich weiterkomme, wäre ich sehr dankbar!

J.

PS: Mir ist bewusst, dass sich gerade diese Problemstellung durch Fouriertransformationen lösen lassen, aber damit ich die Aufgabe lösen kann möchte ich den Weg über die Basisfunktionen hinbekommen.
SomeoneElse ist offline   Mit Zitat antworten
Anzeige
Alt 22.10.2017, 14:21   #2   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
Mitglied
Beiträge: 21.618
AW: Rechteckfunktion aus Orthonormalbasis

dein problem ist, dass du nicht alle informationen nutzt, die du hast. du kannst die {a_n} direkt berechnen. wie?

Nick
__________________
When I was your age, Pluto still was a planet.
WIGGUM2016!
fridge := { elephant }

Bitte keine Fachfragen per PN.
Nick F. ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 22.10.2017, 14:29   #3   Druckbare Version zeigen
SomeoneElse Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 16
Frage AW: Rechteckfunktion aus Orthonormalbasis

Edit: Oh, ich schau mir gleich deine Antwort an, erst gesehen, nachdem ich dies abgeschickt hab.


Es ist eine Orthonormalbasis, d.h.:
{\forall n_i \in \mathbb{N}:  \langle\varphi_i|\varphi_i\rangle=|a_i|^2}
Allerdings komme ich auf die leere Aussage:
{\langle\varphi_i|\varphi_i\rangle=\int_{0}^{b} {(a_i*\sqrt{2/b}*sin{(\frac{n_ix\pi}{b})}dx=1-\frac{sin{(2n_i\p)}}{2n_i\pi}=1\forall n_i\in\mathbb{N}}
was ja auch logisch ist, da es eine Orthonormalbasis ist, woraus aber folgen würde, dass alle {a_i} gleich {\sqrt{1}=1} sein müssten, was wiederum nicht der Aufgabe entspricht.

Ich bin fertig, und ich will den Fehler verstehen, da ich glaube, dass ich da einen Knick in meinem grundlegenden Verständnis habe, den ich gern ausbügeln würde.

Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte!

J.
SomeoneElse ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 22.10.2017, 14:48   #4   Druckbare Version zeigen
SomeoneElse Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 16
AW: Rechteckfunktion aus Orthonormalbasis

Naja, im Prinzip ist das einzige, was mir dazu einfällt die Schreibweise
{|\Phi\rangle=\sum_{i}{a_i|\varphi_i\rangle}
, was
{a_i=\langle \varphi_i|\Phi\rangle}
entsprechen müsste, wobei ich da auf einen Wiederspruch zu meiner obrigen Aussage komme, bei der ich für den Selben Ausdruck das Quadrat von {a_i} genannt habe. (bzw. wieder die Aussage, ja, es ist eine Orthonormalbasis, da mit {\delta_{i,j}} wieder sich wieder {\langle \varphi_i|\varphi_i\rangle} ergibt, und 1 die einzige Zahl mit {\sqrt{y}=y} ist.)

Nein, mir fällt kein Ausdruck ein, mit dem ich {a_i} direkt berechnen könnte. Genau das müsste mein Problem sein
Wärst du so nett mir die direkte Berechnung von {a_i} zu sagen?
SomeoneElse ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 22.10.2017, 17:31   #5   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
Mitglied
Beiträge: 21.618
AW: Rechteckfunktion aus Orthonormalbasis

Zitat:
Zitat von SomeoneElse Beitrag anzeigen
Wärst du so nett mir die direkte Berechnung von {a_i} zu sagen?
du hast es gerade selbst aufgeschrieben

Zitat:
Zitat von SomeoneElse Beitrag anzeigen
{a_i=\langle \varphi_i|\Phi\rangle}
die a_i sind gesucht. was sind {\varphi_i} und {\Phi}?

Nick
__________________
When I was your age, Pluto still was a planet.
WIGGUM2016!
fridge := { elephant }

Bitte keine Fachfragen per PN.
Nick F. ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 22.10.2017, 23:39   #6   Druckbare Version zeigen
SomeoneElse Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 16
AW: Rechteckfunktion aus Orthonormalbasis

{|\varphi_i\rangle=\sqrt{2/b}*sin(\frac{n_ix\pi}{b});   \Phi=\sum_i{a_i*|\varphi_i\rangle}}
Somit ergibt sich, soweit ich das sehe der triviale Ausdruck:
{a_i=\langle\varphi_i|\Phi\rangle=^{(\delta_{ij})} \langle\varphi_i|a_i*\varphi_i\rangle=a_i*\langle\varphi_i|\varphi_i\rangle=a_i}
{(\langle\varphi_i|\varphi_i\rangle=1}hatte ich ja oben schon{)}
Ich dreh mich immer im Kreis und seh den Ausgang nicht. Und eine andere Möglichkeit {\langle\varphi_i|\Phi\rangle } zu berechnen fällt mir auch nicht ein.
SomeoneElse ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 23.10.2017, 08:53   #7   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
Mitglied
Beiträge: 21.618
AW: Rechteckfunktion aus Orthonormalbasis

du weisst noch deutlich mehr ueber {\Phi} als dir bewusst ist. schau mal in deine fragestellung. was ist dir gegeben, dass du hier noch nicht nutzt?

Nick
__________________
When I was your age, Pluto still was a planet.
WIGGUM2016!
fridge := { elephant }

Bitte keine Fachfragen per PN.
Nick F. ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 23.10.2017, 13:37   #8   Druckbare Version zeigen
SomeoneElse Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 16
AW: Rechteckfunktion aus Orthonormalbasis

Ok, der Groschen ist endlich gefallen, wenn auch nur pfenningweise.
{\Phi} hat periodische Randbedingungen, d.h. {\Phi[0]=\Phi[b]}, das entscheidende ist allerdings, dass
{\Phi[x]=z \forall x \in [0,b]}
sodass man schreiben kann:
{a_i = \langle\varphi_i|\Phi\rangle = \int_b \langle\varphi_i| * z dx = \frac {z * \sqrt{2b}}{\pi} *\frac{1 - cos (n_i \pi)}{n_i} }
Dabei fällt dann auch endlich das {a_i} auf der RS der gleichung raus und man erhält ein {a_i[n]}. {\Phi} wäre dann insgesamt:
{ |\Phi[x]\rangle = \sum_i { \frac {2z}{\pi}* \frac{1 - cos (n_i \pi)}{n_i} *sin(\frac{n_ix\pi}{b})}
Damit bekommt man dann auch mit Mathematica die gewünschte Kurve (auch wenn {\Phi=0\forall x\in R/[0,b]} nicht gegeben ist. Für {\sum_{i=1}^{200}} ergibt sich dann dieses Bild.



Vielen Dank für deine Geduld und deine Hilfe!


J.
Angehängte Grafiken
Dateityp: png Rechtecksfunktion.png (6,7 KB, 2x aufgerufen)

Geändert von SomeoneElse (23.10.2017 um 13:53 Uhr) Grund: Kürzen in [tex]\Psi[/tex]
SomeoneElse ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 24.10.2017, 12:44   #9   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
Mitglied
Beiträge: 21.618
AW: Rechteckfunktion aus Orthonormalbasis



Nick
__________________
When I was your age, Pluto still was a planet.
WIGGUM2016!
fridge := { elephant }

Bitte keine Fachfragen per PN.
Nick F. ist offline   Mit Zitat antworten
Anzeige


Antwort

Stichworte
linearkombination, orthonormalbasis, rechteckfunktion, wellenfunktion

Themen-Optionen
Ansicht

Gehe zu

Ähnliche Themen
Thema Autor Forum Antworten Letzter Beitrag
Skalarprodukt, Orthonormalbasis AniOne Vektorrechnung und Lineare Algebra 2 30.09.2011 12:07
Bestimmten Orthonormalbasis ehemaliges Mitglied Vektorrechnung und Lineare Algebra 4 22.07.2009 13:34
Orthonormalbasis, Richtung, Länge sebastian2008 Vektorrechnung und Lineare Algebra 0 03.12.2008 01:21
Orthonormalbasis bestimmen kulturfenster Vektorrechnung und Lineare Algebra 6 10.11.2008 19:33
Orthonormalbasis bestimmen ehemaliges Mitglied Mathematik 1 31.05.2003 18:52


Alle Zeitangaben in WEZ +2. Es ist jetzt 11:32 Uhr.



Anzeige