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Mathematik Mathematik benötigt man immer, auch in anderen Fächern. Dieses Forum soll als Anlaufpunkt bei der Lösung von mathematischen Fragestellungen dienen.

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Alt 20.05.2018, 10:15   #1   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 129
Rekursive Folgen

Hi allerseits!

Es geht um diese Aufgabe: Für { a \in \mathbb{R_{\geq 0}}} sei die Zahlenfolge { (x_n)_n} folgendermaßen rekursiv definiert:
{ x_{n+1} = 2x_n - ax^2_n \: , n \in \mathbb{N} \: \cup \: \left{ 0 \right}} für { 0 \: < \: x_0 \: < \: \frac1a} beliebig.

a) Zeigen Sie, dass { x_n+1 \leq \frac1a} für alle { n \in \mathbb{N} \: \cup \: \left{ 0 \right} } gilt. (Hinweis: quadratische Ergänzung)

Jetzt habe ich so angefangen:
{ -ax^2_n + 2x_n \leq \frac1a} | : (-a)
{x^2_n - \frac2a x_n \geq -1 }
quadratische Ergänzung: {(\frac2a : 2)^2 = \frac{1}{a^2}}
=> { x^2_n + \frac2a x_n + \frac{1}{a^2} \geq -1 + \frac{1}{a^2} }
{(x_n + \frac1a)^2 \geq - 1 + \frac{1}{a^2}} {\: \:} {| \sqrt()}
{x_n + \frac1a \geq \sqrt{-1 + \frac{1}{a^2}}}
{x_n \geq \sqrt{-1 + \frac{1}{a^2}} \: - \: \frac1a}

Kann mir jemand sagen wie ich nun weiter vorgehe?
Lovecraft ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 20.05.2018, 18:56   #2   Druckbare Version zeigen
pleindespoir Männlich
Mitglied
Beiträge: 5.311
AW: Rekursive Folgen

{\frac {1}{a} : (-a) = -1} ?
__________________
Schach is voll langweilig:
Immer die gleiche Map und die Charakter kann man auch nicht modden.
pleindespoir ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 20.05.2018, 19:28   #3   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 129
AW: Rekursive Folgen

Ah ups, das ist {- \frac{1}{a^2}} natürlich ^ ^

Okay dann komme ich am Ende auf {x_n \geq \frac1a}

Und wie kann ich jetzt hieraus schließen, dass {x_{n+1} \leq \frac1a} ist?
Lovecraft ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 22.05.2018, 18:05   #4   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.106
AW: Rekursive Folgen

Hi,

Zitat:
Zitat von Lovecraft Beitrag anzeigen
Für { a \in \mathbb{R_{\geq 0}}}
Ist nicht eher {a \in \mathbb{R}_{>0}} vorausgesetzt? Später taucht ja der Ausdruck {\frac{1}{a}} auf.

Zitat:
Zitat von Lovecraft Beitrag anzeigen
a) Zeigen Sie, dass { x_n+1 \leq \frac1a} für alle { n \in \mathbb{N} \: \cup \: \left{ 0 \right} } gilt. (Hinweis: quadratische Ergänzung)
Meinst du hier {x_{n+1}} anstatt {x_n+1}?

Zitat:
Zitat von Lovecraft Beitrag anzeigen
Okay dann komme ich am Ende auf {x_n \geq \frac1a}
Das glaube ich nicht. Rechne das mal vor.

Zitat:
Zitat von Lovecraft Beitrag anzeigen
Und wie kann ich jetzt hieraus schließen, dass {x_{n+1} \leq \frac1a} ist?
Deine Idee ist doch {x_{n+1} \leq \frac1a \Leftrightarrow (...)^2 \geq 0} zu zeigen, oder?

Gruß Shipwater
__________________
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shipwater ist offline   Mit Zitat antworten
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