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Mathematik Mathematik benötigt man immer, auch in anderen Fächern. Dieses Forum soll als Anlaufpunkt bei der Lösung von mathematischen Fragestellungen dienen.

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Alt 02.06.2018, 22:08   #1   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 128
Zwischenwertsatz

Hi Leute!

Es geht um diese Aufgabe:
Folgende Gleichung ist gegeben: {\frac{(a+b)x + a-b}{x^2 -1} + \frac{c}{x-2} = 1} und es ist zu zeigen, dass es auf dem Intervall [-1,1] stets eine Lösung gibt für a,b,c {\in \mathbb{R_{\geq 0}}}

Damit man den ZWS anwenden kann, müssen die Funktionen ja stetig sein. D.h. ich würde so anfangen, indem ich z.B. a=1, b=2, c=3 setze und dann sage, dass {f(x) = \frac{3x -1}{x^2 -1}} stetig ist auf {\mathbb{R} \setminus \left{-1,1\right}} und {g(x) = \frac{3}{x-2}} stetig ist auf {\mathbb{R} \setminus \left{ 2\right}} und als Komposition stetiger Funktionen ist somit auch {f(x) + g(x)} stetig.

Doch soll ja laut Definiton des ZWS {f(-1) < 0 } und {f(1) > 0 } sein. Aber in genau diesen beiden Werten ist ja {f} nicht definiert.

Oder ist meine Rangehensweise nicht richtig?

Danke schon mal für eure Unterstützung
Lovecraft ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 02.06.2018, 23:11   #2   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.106
AW: Zwischenwertsatz

Hi,

Zitat:
Zitat von Lovecraft Beitrag anzeigen
Folgende Gleichung ist gegeben: {\frac{(a+b)x + a-b}{x^2 -1} + \frac{c}{x-2} = 1} und es ist zu zeigen, dass es auf dem Intervall [-1,1] stets eine Lösung gibt für a,b,c {\in \mathbb{R_{\geq 0}}}
Für {a=b=c=0} stimmt das offensichtlich nicht und für {x=\pm 1} ist die linke Seite außerdem nicht definiert. Schau nochmal nach was die genaue Aufgabenstellung ist.

Zitat:
Zitat von Lovecraft Beitrag anzeigen
Damit man den ZWS anwenden kann, müssen die Funktionen ja stetig sein. D.h. ich würde so anfangen, indem ich z.B. a=1, b=2, c=3 setze
Es ist ok, wenn du zur Vereinfachung zunächst konkrete Werte für {a,b,c} einsetzt, aber am Ende musst du dann natürlich trotzdem den allgemeinen Fall lösen.

Zitat:
Zitat von Lovecraft Beitrag anzeigen
Doch soll ja laut Definiton des ZWS {f(-1) < 0 } und {f(1) > 0 } sein.
Warum taucht hier {g} nicht mehr auf?

Zitat:
Zitat von Lovecraft Beitrag anzeigen
Aber in genau diesen beiden Werten ist ja {f} nicht definiert.
Du kannst aber die Grenzwerte {\lim_{x \to \pm 1}} betrachten.

Gruß Shipwater
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shipwater ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 03.06.2018, 15:51   #3   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 128
AW: Zwischenwertsatz

Zitat:
Zitat von shipwater Beitrag anzeigen


Für {a=b=c=0} stimmt das offensichtlich nicht und für {x=\pm 1} ist die linke Seite außerdem nicht definiert. Schau nochmal nach was die genaue Aufgabenstellung ist.
Also in der Aufgabenstellung heißt es nur, dass gezeigt werden soll, dass es stets eine Lösung gibt im Intervall [-1,1] für alle {a,b,c \in \mathbb{R_{\geq 0}}}


Zitat:
Zitat von shipwater Beitrag anzeigen
Warum taucht hier nicht mehr auf?
Hatte ich vergessen für g muss ich ja auch die Werte -1 und 1 einsetzen. Dann erhalte ich {g(-1) = -1 <0} und {g(1) = -3 < 0}


Zitat:
Zitat von shipwater Beitrag anzeigen
Du kannst aber die Grenzwerte betrachten.
Wenn ich wieder für a=1, b=2 einsetze, dann ist {\lim \limits_{x \to 1^{-}} \frac{3x-1}{x^2 -1} = \lim \limits_{x \to 1^{+}} \frac{3x-1}{x^2 -1} = 1}


Zitat:
Zitat von shipwater Beitrag anzeigen
Es ist ok, wenn du zur Vereinfachung zunächst konkrete Werte für einsetzt, aber am Ende musst du dann natürlich trotzdem den allgemeinen Fall lösen.
Nur wie zeige ich das allgemein? Ich verstehe noch nicht, wie ich überhaupt anfangen soll.
Lovecraft ist offline   Mit Zitat antworten
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Alt 03.06.2018, 17:17   #4   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.106
AW: Zwischenwertsatz

Hi,

Zitat:
Zitat von Lovecraft Beitrag anzeigen
Also in der Aufgabenstellung heißt es nur, dass gezeigt werden soll, dass es stets eine Lösung gibt im Intervall [-1,1] für alle {a,b,c \in \mathbb{R_{\geq 0}}}
dann liegt ein Fehler in der Aufgabenstellung vor. Woher hast du denn die Aufgabe? Hast du die Möglichkeit da nachzufragen?

Zitat:
Zitat von Lovecraft Beitrag anzeigen
Wenn ich wieder für a=1, b=2 einsetze, dann ist {\lim \limits_{x \to 1^{-}} \frac{3x-1}{x^2 -1} = \lim \limits_{x \to 1^{+}} \frac{3x-1}{x^2 -1} = 1}
Das stimmt leider nicht. Im Übrigen bist du nur an den einseitigen Grenzwerten {\lim_{x \to 1^-}} und {\lim_{x \to -1^+}} interessiert.

Zitat:
Zitat von Lovecraft Beitrag anzeigen
Nur wie zeige ich das allgemein? Ich verstehe noch nicht, wie ich überhaupt anfangen soll.
Dann mach erstmal {a=1,b=2,c=3} und schaue später ob sich im allgemeinen Fall etwas ändert.

Gruß Shipwater
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Alt 03.06.2018, 17:33   #5   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 128
AW: Zwischenwertsatz

Zitat:
Zitat von shipwater Beitrag anzeigen

dann liegt ein Fehler in der Aufgabenstellung vor. Woher hast du denn die Aufgabe? Hast du die Möglichkeit da nachzufragen?
Das ist eine der Aufgaben aus dem aktuellen Übungszettel, den wir bearbeiten sollen für das Tutorium. Wo liegt denn der Fehler in der Aufgabenstellung, damit ich mal per Mail nachfragen kann.

Zitat:
Zitat von shipwater Beitrag anzeigen
Das stimmt leider nicht. Im Übrigen bist du nur an den einseitigen Grenzwerten {\lim_{x \to 1^-}} und {\lim_{x \to -1^+}} interessiert.
Ah okay

Zitat:
Zitat von shipwater Beitrag anzeigen
Dann mach erstmal {a=1,b=2,c=3} und schaue später ob sich im allgemeinen Fall etwas ändert.
Gut
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Alt 03.06.2018, 17:43   #6   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.106
AW: Zwischenwertsatz

Zitat:
Zitat von Lovecraft Beitrag anzeigen
Das ist eine der Aufgaben aus dem aktuellen Übungszettel, den wir bearbeiten sollen für das Tutorium. Wo liegt denn der Fehler in der Aufgabenstellung, damit ich mal per Mail nachfragen kann.
Für {a=b=c=0} ist die ganze linke Seite gleich Null und damit stets von Eins verschieden. Vielleicht sollte es {a,b,c \in \mathbb{R}_{>0}} heißen. Und anstelle des Intervalls {[-1,1]} würde ich eine Lösung im offenen Intervall {(-1,1)} suchen, da die linke Seite für {x= \pm 1} eh nicht definiert ist.

Gruß Shipwater
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Alt 03.06.2018, 20:07   #7   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 128
AW: Zwischenwertsatz

Super! Danke dir
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