Lebesgue-Integral einer umgedrehten Parabel

[ratmal86]

Hallo,
nehmen wir mal eine Funktion der Form , also eine umgedrehte Parabel.
Nun möchte ich die Fläche wissen und nutze, wie aus z.B. der Schule bekannnt, das Riemann-Integalverfahren.
Ich berechne mir die Nullstellen der Funktion, leite diese auf und setze Ober- und Untergrenze ein.
Trivial!

Wie berechnet sich nun die Fläche unterhalb der Funktion mit der Hilfe des Lebesgue-Integalverfahren?

Da die Funktion Riemann-integrierbar ist, ist sie auch Lebesgue-integrierbar.
Für den Maßraum gilt dann .

LG

[Nick F.]

Zitat von ratmal86

Wie berechnet sich nun die Fläche unterhalb der Funktion mit der Hilfe des Lebesgue-Integalverfahren?

du konstruierst eine folge von einfachen funktionen, die gegen seine funktion konvergiert und berechnest den limes der integrale der einfachen funktionen

Zitat von ratmal86

Da die Funktion Riemann-integrierbar ist, ist sie auch Lebesgue-integrierbar.

das stimmt so nicht. es gibt riemann integrierbare funktionen, die nicht lebesgue integrierbar sind und umgekehrt. das gilt nur fuer das lebesgue mass auf beschraenkten intervallen

Zitat von ratmal86

Für den Maßraum gilt dann .

in diesem fall ist deine funktion weder lebesgue noch riemann integrierbar. wenn dein massraum das abgeschlossene intervall zwischen den nullstellen sein soll, dann ist die funktion riemann und lebesgue integrierbar.

Nick

[ratmal86]

stimmt ... der Maßraum passt so nicht.
Beim Riemann Integral finden sich z.B. in jeder Formelsammlung die standard Aufleitungsregeln.
Gibt es sowas für Lebesque Integrale auch oder müssen hier ausschließlich Folgen einfacher Funktionen genutzt werden?

[Nick F.]

Zitat von ratmal86

stimmt ... der Maßraum passt so nicht.
Beim Riemann Integral finden sich z.B. in jeder Formelsammlung die standard Aufleitungsregeln.
Gibt es sowas für Lebesque Integrale auch oder müssen hier ausschließlich Folgen einfacher Funktionen genutzt werden?

es gibt keine "integrationsregeln" fuer lebesgueintegrale in diesem sinne. prinzipiell kann man sagen, hast du eine lebesgueintegrierbare funktion, die nicht trivial oder riemannintegrierbar ist, so hast du praktisch keine chance.

je nachdem wie viel du ueber das lebesgueintegral weisst, gibt es noch andere wege, an das ergebnis zu kommen, aber wenn du explizit nicht das riemannintegral verwenden willst/sollst, so sind die einfachen funktionen hier dein bester ansatz.

Nick

[ratmal86]

Ich gehe mal davon aus, dass in meinem Beispiel eine Treppenfunktion ausreichen könnte ... ?

LG

[Nick F.]

rein formal sind treppenfunktionen und einfache funktionen sind nicht das gleiche. jede treppenfunktion ist einfach aber es gibt einfache funktionen, die keine treppenfunktionen sind. da deine funktion riemann integrierbar ist, reichen aber treppenfunktionen aus.

Nick